Новые задания - не помеха: сдаем профильную математику на 90+

Недавно мы уже рассказывали, что экзамен по математике в этом году станет сложнее. Для тех, кто не знал, напомним: в профильной математике удалили три задания, которые были направлены на добор баллов. Вместо них добавили два новых задания, с которыми самостоятельно не каждый школьник разберётся.

Тем, как решать задания №9 и №10, с нами поделился преподаватель математики образовательной компании MAXIMUM Education Александр Дубынин. А мы рассказываем вам.

Задание №9

Работа с функциями

Для его решения вы должны отлично знать, что такое линейные, логарифмические и показательные функции, параболы и гиперболы. А ещё придётся понять, как коэффициенты могут повлиять на поведение функции.

Изначально вам дан график, представленный в виде картинки, и при помощи этой картинки вам нужно восстановить функцию. Также следует дополнительное условие: либо найти значение функции в какой-то точке, не обозначенной на графике, либо когда на рисунке дан не один график, а два, нас просят восстановить оба эти графика и найти точку пересечения этих функций.

Для этого придётся приравнять графики друг к другу и решать уравнение.

Пример задания с графиком функции

Решение

В данном задании в условии вам всегда будет представлен общий вид графика с неизвестными коэффициентами. Все, что необходимо сделать нам для решения – найти эти коэффициенты, воспользовавшись точками из графика. Попросту говоря, нам предстоит решить систему уравнений.

Для составления системы уравнений нам понадобятся известные точки на графике, которые располагаются на его узлах, т.е. имеют целое значение по координате x и y. Обозначим такие точки на графике.

В задании таких точек может быть несколько, выбирайте самые удобные для расчетов: они могут иметь 0 по любой из координат, либо иметь малое значение.

Как определить количество точек, которое нам нужно взять?

Вcё достаточно просто – ориентируйтесь на количество неизвестных коэффициентов. Сколько коэффициентов в графике – столько точек нам нужно взять и, соответственно, столько уравнений нам придется получить в системе.

В нашем случае возьмем 3 точки со следующими координатами: (-2;-1), (-3;-2), (-4;-3)

Далее нужно подставить эти точки в исходную функцию вместо x и y для составления системы из трех уравнений.

Выразим, чему равен коэффициент c в первом уравнении и подставим его во второе и третье уравнение:

с = 1-4a+2b

Тогда второе уравнение выглядит следующим образом:

-2 = 9a-3b+1-4a+2b
-3 = 5a-b

Третье уравнение:

-3 = 16a-4b+1-4a+2b

-4 = 12a-2b

Далее выразим коэффициент b из второго уравнения, чтобы подставить его в уравнение 3 системы и найти, чему равен коэффициент a:

-3 = 5a-b

b = 5a+3

Тогда уравнение 3 примет вид:

-4 = 12a - 2(5a+3)
-4 = 12a - 10a - 6
2 = 2a

a = 1

Подставим это значение в наше выраженное для b выражение:

b = 5a+3 = 5+3 = 8

b = 8

Подставим a = 1 и b = 8 в выражение для c:

c = 1 -4a+2b = 1-4+2*8 = 1-4+16 = 13

c = 13

Мы получили все коэффициенты для неизвестной функции. Теперь получаем ее исходный вид:

Зная вид функции, мы сможем получить ее итоговое значение в точке (данное в условии задания):

При работе с таким заданием важно знать методы решения систем уравнений, а также упрощающие способы нахождения коэффициентов функций.

В этом задании мы рассмотрели общий вид нахождения неизвестных коэффициентов, в некоторых же случаях часть коэффициентов можно найти напрямую из графика, что позволит упростить решение системы в разы. Например, если вы видите, что график параболы пересекает ось OY в определенной точке, то вы сразу же по значению на оси OY в точке пересечения можете получить коэффициент c.

Задание №10

Теория вероятности и статистика

Это усложненный прототип задания на вероятность предыдущего года. Здесь необходимо работать со статистическими данными. Рассмотрим на конкретном примере.

В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

При решении такого задания можно воспользоваться упрощающим способом решения. Когда речь идет о вероятности, то легче всего представить, что в городе взрослая часть населения составляет 100 человек, от которых мы можем находить уже оставшиеся значения.

Тогда найти количество мужчин и женщин мы можем легко, нужно лишь обратиться к проценту:

48% взрослого населения мужчины, следовательно, 48% от 100 человек – 48 мужчин, а женщин соответственно – 52.

Теперь посчитаем количество пенсионеров среди взрослого населения:

Из 100 человек всего 12,6% – пенсионеры, тогда пенсионеров – 12,6 человек: это сумма пенсионеров как среди женщин, так и среди мужчин.

Найдем теперь количество пенсионеров женщин:

Мы уже знаем, что среди взрослого населения 52 женщины, из которых 15% – пенсионеры:

Решаем любым способом: либо пропорция, либо умножение на десятичную дробь.

52*0,15 = 7,8 – именно столько пенсионеров среди женщин

Тогда найти количество пенсионеров среди мужчин будет легко. Достаточно вычесть из общего числа пенсионеров количество пенсионеров среди женщин:

12,6-7,8 = 4,8 – количество пенсионеров мужчин

Самое главное, обратиться к вопросу задания: найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером»

Если расшифровывать вопрос с позиции базового определения вероятности: нас просят вычислить вероятность того, что, выбирая ТОЛЬКО из мужчин, мы наткнемся на пенсионера.

Поэтому количество всех вариантов – 48 мужчин.

Количество подходящих вариантов – 4,8 мужчин пенсионеров.

Находим вероятность:

Это и есть ответ. Поэтому всегда внимательно читайте условие вопроса, чтобы точно быть уверенным в правильности решения, а также не забывайте, что упрощение расчетов без введения переменных позволит вам не совершить ошибку по невнимательности.

Еще один прототип задания 10, который ФИПИ привел в качестве одного из возможных заданий на вероятность:

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

При решении более простых прототипов на 2 подбрасывания мы обычно можем все визуализировать при помощи простой таблички, но когда речь идет о 3-х подбрасываниях, то здесь изначально придется работать с нахождением всех возможных комбинаций и только потом – с удобной визуализацией.

Для того чтобы найти количество всех вариантов, нужно понять: какие числа при трех подбрасываниях дадут нам 6 очков.

Всего таких наборов чисел несколько:

1+2+3=6

1+1+4=6

2+2+2=6

Мы видим, что всего набора чисел – 3. Но нам нужно найти теперь все возможные комбинации этих подбрасываний, так как очередность выпадения чисел также имеет значение. Чтобы не упустить ни одной последовательности, визуализируем решение при помощи схемы, в которой нам нужно помнить, что в результате трех подбрасываний в сумме должно получаться всегда 6 очков.

При работе с подобной визуализацией нужно в первом подбрасывании выписать все возможные подходящие для нас числа, которые мы обозначили сверху, в порядке возрастания. А в следующих подбрасываниях к каждому числу выписывать аналогично те же числа в порядке возрастания, только помня о том, что в третьем подбрасывании мы должны будем добавить к двум имеющимся значениям третье, которое опять же в сумме нам даст 6 очков. Именно поэтому при переходе от 1 к 4 в первом подбрасывании количество комбинаций уменьшается ко второму и третьему броску соответственно.

Видим, что комбинаций получилось 10 – это количество всех вариантов. Но только в 6 из них присутствует число 3 – это количество подходящих для нас событий.

Таким образом, итоговая вероятность будет найдена по определению вероятности:

При работе с любой такой задачей самый главный способ ее решения – визуализация, только в таком случае вы не упустите ни один из возможных вариантов событий и корректно получите итоговый ответ.

Совсем скоро мы расскажем и о новых заданиях в «базе».