Недавно мы разбирали сложные задачи из
вариантов профиля. Но этому году усложнили ЕГЭ и по базе. Так что сегодня совместно с преподавателем математики
образовательной компании MAXIMUM Education Александром
Дубыниным разбираемся с тремя новыми заданиями.
Задание
№5
Задача проверяет умение выполнять действия с геометрическими
фигурами. Сам номер направлен на работу с классическими фигурами
планиметрии и выполнение приближенной оценку на нестандартных фигурах.
Если со стандартными квадратом, кругом, треугольником проблем точно не возникнет, то с другими уже сложнее. Поэтому давайте разбираться.
На рисунке изображён план
местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности).
Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое,
изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.
Решение.
Для нахождения площади,
приходящихся на озеро Великое, оценим приближенное количество процентов,
которую занимает озеро в каждой клетке:
1 = 35%
2 = 95%3 = 50%
4 = 2%
5 = 55%
6 = 60%
Найдем суммарное
количество процентов по клеткам:
35% + 95% + 50% + 2% + 55% + 60% = 297%
По результатам приближенной оценки делаем вывод,
что озеро занимает примерно 2,97 клеток, что даст нам после округления 3 целых
клетки, или, зная размерность клетки, которая составляет 1 х 1 км км, 3 км^2
Задание составляется
таким образом, что при выполнении оценки не должно возникнуть сильных отличий в
большую и меньшую сторону от целого числа для того, чтобы округление было
выполнено по всем правилам математики.
Задание №7
Для его решения вам придется вспомнить основные свойства преобразования функций: тригонометрические,
логарифмические, показательные, иррациональные.
Найдите cos a, если sin a = 0,8 и 90° < a < 180°
Такое задание можно решить несколькими
способами:
1) При помощи основного тригонометрического
тождества
В итоге мы получили два ответа, хотя главный принцип решения части с
кратким ответом – ответом должно быть одно единственное целое число либо
конечная десятичная дробь. Поэтому нам необходимо понять, какое из значений в
итоге должно пойти в ответ.
Для этого обратим внимание на дополнительно условие задания: 90° < a < 180°
То есть угол расположен во второй четверти тригонометрического круга и,
как следствие, дает отрицательные значения для оси косинусов. Таким образом, из
двух значений нам подходит только отрицательное.
Ответ: -0,6
2) Применение упрощающего способа тригонометрии:
использования пифагоровых троек планиметрии, которые работают не только в
геометрических задачах, но и упрощают решение тригонометрических выражений.
Переведем значение
тригонометрической функции к виду обыкновенной дроби:
По определению синуса мы знаем, что это отношение противолежащего
катета к гипотенузе, поэтому можем обозначить полученные значения дроби на
прямоугольном треугольнике.
Мы видим, что в
треугольнике не хватает еще одного значения катета, которое мы можем найти,
воспользовавшись лайфхаком геометрии:
Пифагоровой тройкой – набором целых чисел, которое
удовлетворяет теореме Пифагора.
Самые распространенные тройки, встречающиеся на экзамене:
3:4:5
5:12:13
7:24:25
8:15:17
Исходя из первой тройки, неизвестный катет равен 3.
Значит мы можем воспользоваться определением косинуса прямоугольного
треугольника и найти значение тригонометрической функции для того же самого
угла:
Теперь, зная, что угол лежит во второй четверти, добавим знак минуса к
итоговому значению косинуса и получим аналогичный ответ.
Ответ: -0,6
Следовательно, решения заданий по тригонометрии строятся не только на
знании основных формул, но и на базовых принципах планиметрии, зная которые,
вам станет легче находить значения тригонометрических функций.
Задание №20
Задание текстовое: на
скорости, на проценты, на другие составляющие текстовых задач. Задание проверяет
умение строить и исследовать простейшие математические модели. Является
упрощенной версией задания №8 профильного
ЕГЭ по математике.
Расстояние между городами А и В равно 470
км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу
ему из города В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость
первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города
А. Ответ дайте в км/ч.
Самое главное в заданиях на движение – поэтапное решение и
визуализация.
В этом задании мы сразу можем обозначить, что автомобили встретились в
350 км от города A или в 120 км от города B, таким образом мы можем выразить время движения
второго автомобиля, который выехал только спустя 3 часа после начала движения
первого.
Мы сразу можем найти суммарное время движения первого автомобиля, так
как спустя три часа после выезда до момента встречи они оба проехали 2 часа.
3ч + 2ч = 5ч
Первый автомобиль
затратил 5 часов, двигаясь навстречу второму автомобилю, проехав суммарно 350 км.
Найдем скорость первого автомобиля:
При решении текстовых заданий не нужно
забывать, что схема, таблица или рисунок помогут вам обозначить все этапы
движения и при этом не упустить ни одной важной детали при составлении
уравнения.
