Задания №12 по 14 ЕГЭ по профильной математике: разбор, лайфхаки и решения

Cодержание

Задание №12
Решение:
Задание №13
Задание №14

Вторая часть ЕГЭ-2023 по профильной математике не на шутку оказалась сложной для выпускников. Многие жаловались на тяжелые условия и формулировки задач. Но экзамены уже позади, результаты давно известны, а вот о разборе заданий и главных советах мало кто упоминал. Именно поэтому мы решили обратиться к преподавателям образовательного центра Maximum Education - а они в свою очередь объяснили нам, как решать каждую задачу.

Задание №12

На этот раз нам попался один из самых простых прототипов уравнения: только тригонометрия и никаких усложняющих элементов (вроде дробей, корней, логарифмов или степеней), отсутствуют ограничения.

Решение:

а) sin sinх * cos cos2x + sin sinx = √3x
sin sinx(2x - 1) + sin sinx = √3x
2x sin sinx - sin sinx + sin sinx - √3x =0
2x sin sinx - √3x =0
x (2sin sinx - √3) =0

Получили произведение, равное 0, значит каждый из множителей может быть равен 0.

Решением уравнения являются три серии корней. Так как никаких ограничений на х в условии нет, то все они идут в ответ.

Отбор корней в пункте б) можно произвести любым удобным способом: с помощью тригонометрического круга, неравенства или же графически. Самый распространенный вариант – тригокруг.

Получаем, что на заданный отрезок попали три корня: 7п/2, 9п/2 и 13п/3 .

Главное – правильно оформить пункт б):

1. Выдели заданный отрезок дугой;

2. Отметь его границы точками или проколами в зависимости от скобок;

3. Отметь на дуге подходящие точки и посчитай их значения

Если правильно выполнить все этапы этого задания, то вполне несложно заработать полные 2 балла.

Задание №13

Геометрические задачи второй части сами по себе являются сложными для учеников (что подтверждают даже сами составители экзамена ФИПИ), стандартно их решают только около 5 или 7 процентов учеников. Поэтому для кого-то это задание будет сложным, а для кого-то совсем нет.

Решение:

а) Чтобы доказать, что ВМ:МD= 3:7, необходимо вспомнить свойство сторон квадрата(KLMN) и воспользоваться теоремой Фалеса.
б) Расстояние от точки C до КМ можно найти, если вначале посчитать площадь прямоугольного треугольника (SKMN). А затем уже нужно воспользоваться формулой объема тетраэдра MKCN.

Задание №14

А вот задание №14, напротив, достаточно стандартное, все необходимые свойства и ограничения разбираются в школьной программе. Никаких усложняющих условий в задачах нет.

(для справки: х2 - икс в квадрате, х3 - икс в кубе, х4 - икс в четвертой степени).

Во всех регионах встретились логарифмические неравенства в разных конфигурациях. Любое из них решалось с помощью теории об ограничениях логарифмической функции, а также свойствах логарифмов, позволяющих преобразовывать неравенства.

Решение:
Во-первых, учтем ограничения логарифмической функции – подлогарифмическое выражение должно быть больше 0.